2016秋期初三數學上冊半期檢測試卷
勤奮是我們一直推舉的學習方法。下面是小編整理的2016秋期初三數學上冊半期檢測試卷，歡迎大家試做。
一、選擇題(本大題共8小題，每小題3分，共24分，每題只有一個正確答案)
1.用配方法解方程x 2﹣2x﹣2=0時，原方程應變形為( )
A.(x+1)2=3 B.(x+2)2=6 C.(x﹣1)2=3 D.(x﹣2)2=6
2.在等腰三角形中，有兩條邊的長度是方程x2﹣9x+18=0的根，那么它的周長是( )
A.12 B.15 C.12或15 D.9
3.下列說法中，正確的是( )
A.同一條弦所對的兩條弧一定是等弧
B.長度相等的兩條弧是等弧
C.兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例
D.三角形的外心到三角形各邊的距離相等
4.在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，如果△ABC的周長是16，面積是12，那么△DEF的周長、面積依次為( )
A.8，3 B.8，6 C.4，3 D.4，6
5.已知關于x的一元二次方程(m﹣2)x2+3x+m2﹣4=0有一個解為0，則m的值為( )
A.2 B.﹣2 C.±2 D.0
6.如圖，在△A BC中，∠A=70°.⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長相等，則∠BOC的度數為( )
A.160° B.135° C.125° D.110°
7.如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動點P從A點出發，按A→B→C的方向在AB和BC上移動，記PA=x，點D到直線PA的距離為y，則y關于x的函數圖象大致是( )
A. B. C. D.
8.如圖，在矩形AOBC中，點A的坐標是(﹣2，1)，點C的縱坐標是4，則B、C兩點的坐標分別是( )
A.( ，3)、(﹣ ，4) B.( )、(﹣ ) C.( )、(﹣ ) D.( )、(﹣ )
二、填空題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)
9.已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的兩根分別為x1，x2，則x1•x2=__________.
10.頂角為36°的等腰三角形稱為黃金三角形.如圖，△ABC、△BDC、△DEC都是黃金三角形，已知AB=1，則DE=__________.
11.某種襯衣的價格經過連續兩次降價后，由每件150元降至96元，平均每次降價的百分率是__________.
12.直徑為10cm的⊙O中，弦AB=5cm，則弦AB所對的圓周角是__________.
13.對于實數a、b，定義運算“*”：a*b= ，例如：4*2，因為4>2，所以4*2=42﹣4×2=8.若x1、x2是一元二次方程x2﹣8x+12=0的兩個根，那么x1*x2=__________.
14.在同一時刻兩根木竿在太陽光下的影子如圖所示，其中木 竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墻上，PM=1.2m，MN=0.8m，則木竿PQ的長度為__________m.
15.如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm.以BC上一點O為圓心的圓經過A、D兩點，且∠AOD=90°，則圓心O到弦AD的距離是__________cm.
16.如圖，△ABC中，AB=BC，AC=8，點F是△ABC的重心(即點F是△ABC的兩條中線AD、BE的交點)，BF=6，則DF=__________.
17.如圖，⊙O的半徑是2，直線l與⊙O相交于A、B兩點，M、N是⊙O上的兩個動點，且在直線l的異側，若∠AMB=45°，則四邊形MANB面積的最大值是__________.
18.如圖，已知△ABC是面積為 的等邊三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC與DE相交于點F，則△AEF的面積等于__________(結果保留根號).
三、解答題(本大題共10小題，共96分)
19.解方程：
(1)(2x﹣3)2﹣x2=0
(2)3x2+5x+1=0.
20.如圖，已知D、E分別是△ABC的邊AC、AB上的點，若∠A=35°，∠C=85°，∠ADE=60°
(1)請說明：△ADE∽△ABC;
(2)若AD=8，AE=6，BE=10，求AC的長.
21.已知|a﹣b+1|與 是互為相反數，且關于x的方程kx2+ax+b=0有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍.
22.已知：△ABC在直角坐標平面內，三個頂點的坐標分別為A(0，3)、B(3，4)、C(2，2)(正方形網格中每個小正方形的邊長是一個單位長度).
(1)畫出△ABC向下平移4個單位長度得到的△A1B1C1，點C1的坐標是__________;
(2)以點B為位似中心，在網格內畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1，點C2的坐標是__________;
(3)△A2B2C2的面積是__________平方單位.
23.如圖，某農場老板準備建造一個矩形羊圈ABCD，他打算讓矩形羊圈的一面完全靠著墻MN，墻MN可利用的長度為25m，另外三面用長度為50m的籬笆圍成(籬笆正 好要全部用完，且不考慮接頭的部分)
(1)若要使矩形羊圈的面積為300m2，則垂直于墻的一邊長AB為多少米?
(2)農場老板又想將羊圈ABCD的面積重新建造成面積為320m2，從而可以養更多的羊，請聰明的你告訴他：他的這個想法能實現嗎?為什么?
24.探究一：如圖，正△ABC中，E為AB邊上任一點，△CDE為正三角形，連接AD，猜想AD與BC的位置關系，并說明理由.
探究二：如圖，若△ABC為任意等腰三角形，AB=AC，E為AB上任一點，△CDE為等腰三角形，DE=DC，且∠BAC=∠EDC，連接AD，猜想AD與BC的位置關系，并說明理由.
25.有一種可食用的野生菌，剛上市時，外商李經理以每千克30元的市場價格收購了這種野生菌1000千克存放入冷庫中，據預測，該野生菌的市場價格將每天每千克上漲1元;但冷凍存放這批野生菌時每天需要支出各種費用合計310元，而且這種野生菌在冷庫中最多保存140天，同時，平均每天有3千克的野生菌損壞導致不能出售.
(1)若存放x天后，將這批野生菌一次性出售，設這批野生菌的銷售總額為P元，試求出P與x之間的函數關系式;
(2)李經理將這批野生菌存放多少天后一次性全部出售可以獲得22500元的利潤?
26.已知：如圖，△ABC內接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點F，交⊙O于點D，DE⊥AB于點E，且交AC于點P，連結AD.
(1)求證：∠DAC=∠DBA;
(2)求證：P是線段AF的中點;
(3)連接CD，若CD﹦3，BD﹦4，求⊙O的半徑和DE的長.
27.閱讀理解：
如圖1，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E(點E不與點A、點B重合)，分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點;如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強相似點.解決問題：
(1)如圖1，∠A=∠B=∠DEC=55°，試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由;
(2)如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點均在正方形網格(網格中每個小正方形的邊長為1)的格點(即每個小正方形的頂點)上，試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個強相似點E;
拓展探究：
(3)如圖3，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處.若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，試探究AB和BC的數量關系.
28.如圖，以點P(﹣1，0)為圓心的圓，交x軸于B、C兩點(B在C的左側)，交y軸于A、D兩點(A在D的下方)，AD=2 ，將△ABC繞點P旋轉180°，得到△MCB.
(1)求B、C兩點的坐標;
(2)請在圖中畫出線段MB、MC，并判斷四邊形ACMB的形狀(不必證明)，求出點M的坐標;
(3)動直線l從與BM重合的位置開始繞點B順時針旋轉，到與BC重合時停止，設直線l與CM交點為E，點Q為BE的中點，過點E作EG⊥BC于G，連接MQ、QG.請問在旋轉過程中∠MQG的大小是否變化?若不變，求出∠MQG的度數;若變化，請說明理由.
答案
一、選擇題(本大題共8小題，每小題3分，共24分，每題只有一個正確答案)
1.用配方法解方程x2﹣2x﹣2=0時，原方程應變形為( )
A.(x+1)2=3 B.(x+2)2=6 C.(x﹣1)2=3 D.(x﹣2)2=6
考點：解一元二次方程-配方法.
專題：計算題.
分析：配方法的一般步驟：
(1)把常數項移到等號的右邊;
(2)把二次項的系數化為1;
(3)等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方.
解答： 解：x2﹣2x﹣2=0
移項，得：x2﹣2x=2，
配方：x2﹣2x+1=3，
即(x﹣1)2=3.
故選C.
點評：此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用.選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數.
2.在等腰三角形中，有兩條邊的長度是方程x2﹣9x+18=0的根，那么它的周長是( )
A.12 B.15 C.12或15 D.9
考點：解一元二次方程-因式分解法;三角形三邊關系;等腰三角形的性質.
分析：先求出方程的解，再判斷是否符合三角形三邊關系定理，最后把符合的求出即可.
解答： 解：x2﹣9x+18=0，
(x﹣3)(x﹣6)=0，
x﹣3=0，x﹣6=0，
x1=3，x2=6，
①等腰三角形的三邊為3，3，6，
∵3+3=6，
∴不符合三角形三邊關系定理，舍去;
②等腰三角形的三邊為3，6，6，此時符合三角形三邊關系定理，三角形的周長是3+6+6=15;
故選B.
點評：本題考查了三角形三邊關系定理，等腰三角形性質，解一元二次方程的應用，關鍵是求出三角形三邊長.
3.下列說法中，正確的是( )
A.同一條弦所對的兩條弧一定是等弧
B.長度相等的兩條弧是等弧
C.兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例
D.三角形的外心到三角形各邊的距離相等
考點：命題與定理.
分析：根據等弧的定義對A、B進行判斷;根據平行線分線段成比例定理對C進行判斷;根據三角形外心的性質對D進行判斷.
解答： 解：A、如果弦不是直徑，那么同一條弦所對的兩條弧一條是優弧，另外一條是劣弧，故本選項錯誤;
B、在同圓或等圓中，長度相等的兩條弧是等弧，故本選項錯誤;
C、兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例，故本選項正確;
D、三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，故本選項錯誤.
故選C.
點評：本題考查了等弧的定義，平行線分線段成比例定理，三角形的外接圓與外心等知識，熟練掌握定義與性質是解題的關鍵.
4.在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，如果△ABC的周長是16，面積是12，那么△DEF的周長、面積依次為( )
A.8，3 B.8，6 C.4，3 D.4，6
考點：等腰三角形的判定;相似三角形的判定與性質.
分析：根據已知可證△ABC∽△DEF，且△ABC和△DEF的相似比為2，再根據相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方即可求△DEF的周長、面積.
解答： 解：因為在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，
∴ =2，
又∵∠A=∠D，
∴△ABC∽△DEF，且△ABC和△DEF的相似比為2，
∵△ABC的周長是16，面積是12，
∴△DEF的周長為16÷2=8，面積為12÷4=3，
故選A.
點評：本題難度中等，考查相似三角形的判定和性質，相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.
5.已知關于x的一元二次方程(m﹣2)x2+3x+m2﹣4=0有一個解為0，則m的值為( )
A.2 B.﹣2 C.±2 D.0
考點：一元二次方程的解;一元二次方程的定義.
分析：把x=0代入方程(m﹣2)x2+3x+m2﹣4=0中，解關于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程對二次項系數為0.
解答： 解：把x=0代入方程(m﹣2)x2+3x+m2﹣4=0中，得
m2﹣4=0，
解得m=﹣2或2，
當m=2時，原方程二次項系數m﹣2=0，舍去，
故選B.
點評：本題考查的是一元二次方程解的定義.能使方程成立的未知數的值，就是方程的解，同時，考查了一元二次方程的概念.
6.如圖，在△ABC中，∠A=70°.⊙O截△ABC的三條邊 所得的弦長相等，則∠BOC的度數為( )
A.160° B.135° C.125° D.110°
考點：三角形的內切圓與內心;角平分線的性質;垂徑定理.
分析：先利用⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長相等，得出即O是△ABC的內心，從而，∠1=∠2，∠3=∠4，進一步求出∠BOC的度數.
解答： 解：∵△ABC中∠A=70°，⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長相等，
∴O到三角形三條邊的距離相等，即O是△ABC的內心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3= (180°﹣∠A)= (180°﹣70°)=55°，
∴∠BOC=180°﹣(∠1+∠3)=180°﹣55°=125°.
故選C.
點評：本題考查的是三角形的內心，及三角形內角和定理，比較簡單.
7.如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動點P從A點出發，按A→B→C的方向在AB和BC上移動，記PA=x，點D到直線PA的距離為y，則y關于x的函數圖象大致是( )
A. B. C. D.
考點：動點問題的函數圖象.
專題：壓軸題;動點型.
分析：①點P在AB上時，點D到AP的距離為AD的長度，②點P在BC上時，根據同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y與x的關系式，從而得解.
解答： 解：①點P在AB上時，0≤x≤3，點D到AP的距離為AD的長度，是定值4;
②點P在BC上時，3
∵∠APB+∠BAP=90°，
∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠APB=∠PAD，
又∵∠B=∠DEA=90°，
∴△ABP∽△DEA，
∴ = ，
即 = ，
∴y= ，
縱觀各選項，只有B選項圖形符合.
故選：B.
點評：本題考查了動點問題函數圖象，主要利用了相似三角形的判定與性質，難點在于根據點P的位置分兩種情況討論.
8.如圖，在矩形AOBC中，點A的坐標是(﹣2，1)，點C的縱坐標是4，則B、C兩點的坐標分別是( )
A.( ，3)、(﹣ ，4) B.( )、(﹣ ) C.( )、(﹣ ) D.( )、(﹣ )
考點：矩形的性質;坐標與圖形性質.
分析：首先過點A作AD⊥x軸于點D，過點B作BE⊥x軸于點E，過點C作CF∥y軸，過點A作AF∥x軸，交點為F，易得△CAF≌△BOE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案.
解答： 解：過點A作AD⊥x軸于點D，過點B作BE⊥x軸于點E，過點C作CF∥y軸，過點A作AF∥x軸，交點為F，延長CA交x軸于點H，
∵四邊形AOBC是矩形，
∴AC∥OB，AC=OB，
∴∠CAF=∠BOE=∠CHO，
在△ACF和△OBE中，
，
∴△CAF≌△BOE(AAS)，
∴BE=CF=4﹣1=3，
∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，
∴∠AOD=∠OBE，
∵∠ADO=∠OEB=90°，
∴△AOD∽△OBE，
∴ = ，
即 = ，
∴OE= ，
即點B( ，3)，
∴AF=OE= ，
∴點C的橫坐標為：﹣(2﹣ )=﹣ ，
∴點C(﹣ ，4).
故選D.
點評：此題考查了矩形的性質、全等三角形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質.此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用.
二、填空題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)
9.已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的兩根分別為x1，x2，則x1•x2=﹣3.
考點：根與系數的關系.
分析：直接利用根與系數的關系求解.
解答： 解：∵一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的兩根分別為x1，x2，
∴x1•x2=﹣3.
故答案為﹣3.
點評：本題考查了根與系數的關系：x1，x2是方程x2+px+q=0的兩根時，x1+x2=﹣p，x1x2=q.
10.頂角為36°的等腰三角形稱為黃金三角形.如圖，△ABC、△BDC、△DEC都是黃金三角形，已知AB=1，則DE= .
考點：黃金分割.
專題：壓軸題.
分析：根據相似比求解.
解答： 解：∵△ABC、△BDC、△DEC都是黃金三角形，AB=1
∴AB=AC，AD=BD=BC，DE=BE=CD，DE∥AB
∴設DE=x，則CD=BE=x，AD=BC=1﹣x，
∴EC=BC﹣BE=1﹣x﹣x=1﹣2x
∴
解得：DE= .
點評：此題考查了相似三角形的性質與方程思想，相似三角形的對應邊的比相等;解題時要注意方程思想的應用.
11.某種襯衣的價格經過連續兩次降價后，由每件150元降至96元，平均每次降價的百分率是20%.
考點：一元二次方程的應用.
專題：增長率問題;壓軸題.
分析：設每次降價的百分率為x，(1﹣x)2為兩次降價的百分率，150降至96就是方程的平衡條件，列出方程求解即可.
解答： 解：設每次降價的百分率為x.
150×(1﹣x)2=96
x=20%或180%(180%不符合題意，舍去)
答：平均每次降價的百分率為20%.
點評：一元二次方程應用的關鍵是根據題意找到等式兩邊的平衡條件，這種價格問題主要解決價格變化前后的平衡關系，列出方程，解答即可.
12.直徑為10cm的⊙O中，弦AB=5cm，則弦AB所對的圓周角是30°或150°.
考點：圓周角定理;含30度角的直角三角形;垂徑定理.
專題：分類討論.
分析：連接OA、OB，根據等邊三角形的性質，求出∠AOB的度數，再根據圓周定理求出∠C的度數，再根據圓內接四邊形的性質求出∠D的度數.
解答： 解：連接OA、OB，
∵AB=OB=OA，
∴∠AOB=60°，
∴∠C=30°，
∴∠D=180°﹣30°=150°.
故答案為：30°或150°.
點評：本題考查了圓周角定理和圓內接四邊形的性質，作出輔助線是解題的關鍵.
13.對于實數a、b，定義運算“*”：a*b= ，例如：4*2，因為4>2，所以4*2=42﹣4×2=8.若x1、x2是一元二次方程x2﹣8x+12=0的兩個根，那么x1*x2=±24.
考點：根與系數的關系.
專題：新定義.
分析：首先解方程x2﹣8x+12=0，再根據a*b= ，求出x1﹡x2的值即可.
解答： 解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+12=0的兩個根，
∴(x﹣2)(x﹣6)=0，
解得：x=2或6，
①當x1=2，x2=6時，x1﹡x2=2×6﹣62=﹣24;
②當x1=6，x2=2時，x1﹡x2=62﹣6×2=24.
故答案為：±24.
點評：此題主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解決新問題，根據已知進行分類討論是解題關鍵.
14.在同一時刻兩根木竿在太陽光下的影子如圖所示，其中木竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墻上，PM=1.2m，MN=0.8m，則木竿PQ的長度為2.3m.
考點：相似三角形的應用.
專題：幾何圖形問題.
分析：先根據同一時刻物高與影長成正比求出QD的影長，再根據此影長列出比例式即可.
解答： 解：解：過N點作ND⊥PQ于D，
∴ ，
又∵AB=2，BC=1.6，PM=1.2，NM=0.8，
∴QD= =1.5，
∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3(m).
故答案為：2.3.
點評：在運用相似三角形的知識解決實際問題時，要能夠從實際問題中抽象出簡單的數學模型，然后列出相關數據的比例關系式，從而求出結論.
15.如圖，在梯形ABCD中， AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm.以BC上一點O為圓心的圓經過A、D兩點，且∠AOD=90°，則圓心O到弦AD的距離是 cm.
考點：垂徑定理;直角三角形全等的判定;等腰三角形的性質;等腰三角形的判定;勾股定理;矩形的判定;直角梯形.
專題：壓軸題.
分析：本題的綜合性質較強，根據全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，直角梯形的性質可知.
解答： 解：如圖，作AE⊥CD，垂足為E，OF⊥AD，垂足為F，
則四邊形AECB是矩形，
CE=AB=2cm，DE=CD﹣CE=4﹣2=2cm，
∵∠AOD=90°，AO=OD，
所以△AOD是等腰直角三角形，
AO=OD，∠OAD=∠ADO=45°，BO=CD，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°
∴∠ODC+∠OAB=90°，
∵∠ODC+∠DOC=90°，
∴∠DOC=∠BAO，
∵∠B=∠C=90°
∴△ABO≌△OCD，
∴OC=AB=2cm，OB=CD=4cm，BC=BO+OC=AE=6cm，
由勾股定理知，AD2=AE2+DE2，
得AD=2 cm，
∴AO=OD=2 cm，
S△AOD= AO•DO= AD•OF，
∴OF= cm.
點評：本題利用了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，直角梯形的性質求解.
16.如圖，△ABC中，AB=BC，AC=8，點F是△ABC的重心(即點F是△ABC的兩條中線AD、BE的交點)，BF=6，則DF= .
考點：三角形的重心.
分析：根據三角形的重心到頂點的距離等于到對邊中點的距離的一半求出EF，再根據等腰三角形三線合一的性質求出AE，BE⊥AC，然后利用利用勾股定理列式求出AF，再次利用三角形的重心到頂點的距離等于到對邊中點的距離的一半求解即可.
解答： 解：∵點F是△ABC的重心，
∴EF= BF= ×6=3，
∵AB=BC，BE是中線，
∴AE= AC= ×8=4，BE⊥AC，
在Rt△AEF中，由勾股定理得，AF= = =5，
∴DF= AF= .
故答案為： .
點評：本題考查了三角形的重心，等腰三角形三線合一的性質，勾股定理，熟記三角形的重心到頂點的距離等于到對邊中點的距離的一半是解題的關鍵，此內容已經不作要求，此題可斟酌使用.
17.如圖，⊙O的半徑是2，直線l與⊙O相交于A、B兩點，M、N是⊙O上的兩個動點，且在直線l的異側，若∠AMB=45°，則四邊形MANB面積的最大值是4 .
考點：垂徑定理;圓周角定理.
專題：壓軸題.
分析：過點O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E兩點，連結OA、OB、DA、DB、EA、EB，根據圓周角定理得∠AOB=2∠AMB=90°，則△OAB為等腰直角三角形，所以AB= OA=2 ，由于S四邊形MANB=S△MAB+S△NAB，而當M點到AB的距離最大，△MAB的面積最大;當N點到AB的距離最大時，△NAB的面積最大，即M點運動到D點，N點運動到E點，所以四邊形MANB面積的最大值=S四邊形DAEB=S△DAB+S△EAB= AB•CD+ AB•CE= AB(CD+CE)= AB•DE= ×2 ×4=4 .
解答： 解：過點O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E兩點，連結OA、OB、DA、DB、EA、EB，如圖，
∵∠AMB=45°，
∴∠AOB=2∠AMB=90°，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴AB= OA=2 ，
∵S四邊形MANB=S△MAB+S△NAB，
∴當M點到AB的距離最大，△MAB的面積最大;當N點到AB的距離最大時，△NAB的面積最大，
即M點運動到D點，N點運動到E點，
此時四邊形MANB面積的最大值=S四邊形DAEB=S△DAB+S△EAB= AB•CD+ AB•CE= AB(CD+CE)= AB•DE= ×2 ×4=4 .
故答案為：4 .
點評：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.也考查了圓周角定理.
18.如圖，已知△ABC是面積為 的等邊三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC與DE相交于點F，則△AEF的面積等于 (結果保留根號) .
考點：相似三角形的性質;等邊三角形的性質.
專題：計算題.
分析：根據相似三角形面積比等于相似比的平方求得三角形ADE的面積，再根據求出其邊長，可根據三角函數得出三角形面積.
解答： 解：∵△ABC∽△ADE，AB=2AD，
∴ = ，
∵AB=2AD，S△ABC= ，
∴S△ADE= ，
如圖，在△EAF中，過點F作FH⊥AE交AE于H，
∵∠EAF=∠BAD=45°，∠AEF=60°，
∴∠AFH=45°，∠EFH=30°，
∴AH=HF，
設AH=HF=x，則EH=xtan30°= x.
又∵S△ADE= ，
作CM⊥AB交AB于M，
∵△ABC是面積為 的等邊三角形，
∴ ×AB×CM= ，
∠BCM=30°，
設AB=2k，BM=k，CM= k，
∴k=1，AB=2，
∴AE= AB=1，
∴x+ x=1，
解得x= = .
∴S△AEF= ×1× = .
故答案為： .
點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質和等邊三角形的性質等知識點，解得此題的關鍵是根據相似三角形面積比等于相似比的平方求得三角形ADE的 面積，然后問題可解.
三、解答題(本大題共10小題，共96分)
19.解方程：
(1)(2x﹣3)2﹣x2=0
(2)3x2+5x+1=0.
考點：解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-公式法.
專題：計算題.
分析：(1)利用因式分解法解方程;
(2)先計算判別式的值，然后利用求根公式解方程.
解 答： 解：(1)(2x﹣3﹣x)(2x﹣3+x)=0，
2x﹣3﹣x=0或2x﹣3+x=0，
所以x1=3，x2=1;
(2)△=25﹣4×3=13，
x= ，
所以x1= ，x2= .
點評：本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了(數學轉化思想).也考查了公式法解一元二次方程.
20.如圖，已知D、E分別是△ABC的邊AC、AB上的點，若∠A=35°，∠C=85°，∠ADE=60°
(1)請說明：△ADE∽△ABC;
(2)若AD=8，AE=6，BE=10，求AC的長.
考點：相似三角形的判定與性質.
分析：(1)根據三角形內角和定理求出∠B，推出∠B=∠ADE，根據相似三角形的判定得出即可;
(2)根據相似三角形的性質得出比例式，代入求出即可.
解答： 解：(1)∵∠A=35°，∠C=85°，
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=60°，
∵∠ADE=60°，
∴∠B=∠ADE，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC;
(2)∵△ADE∽△ABC，
∴ = ，
∵AD=8，AE=6，BE=10，
∴ = ，
∴AC=12.
點評：本題考查了三角形內角和定理，相似三角形的性質和判定的應用，能推出△ADE∽△ABC是解此題的關鍵.
21.已知|a﹣b+1|與 是互為相反數，且關于x的方程kx 2+ax+b=0有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍.
考點：根的判別式;非負數的性質：絕對值;非負數的性質：算術平方根.
專題：計算題.
分析：先根據非負數的性質得到a﹣b+1=0，a﹣2b+4=0，可求出a=﹣2，b=﹣1，則原方程變形為kx2+﹣2x﹣1=0，然后根據一元二次方程的定義和判別式的意義得到k≠0且△=(﹣2)2﹣4k×(﹣1)>0，再求出兩不等式的公共部分即可.
解答： 解：∵|a﹣b+1|+ =0，
∴a﹣b+1=0，a﹣2b+4=0，
∴a=﹣2，b=﹣1，
原方程變形為kx2+﹣2x﹣1=0，
根據題意得k≠0且△=(﹣2)2﹣4k×(﹣1)>0，
解得k>﹣1且k≠0.
點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2﹣4ac：當△>0，方程有兩個不相等的實數根;當△=0，方程有兩個相等的實數根;當△<0，方程沒有實數根.也考查了非負數的性質.
22.已知：△ABC在直角坐標平面內，三個頂點的坐標分別為A(0，3)、B(3，4)、C(2，2)(正方形網格中每個小正方形的邊長是一個單位長度).
(1)畫出△ABC向下平移4個單位長度得到的△A1B1C1，點C1的坐標是(2，﹣2);
(2)以點B為位似中心，在網格內畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1，點C2的坐標是(1，0);
(3)△A2B2C2的面積是10平方單位.
考點：作圖-位似變換;作圖-平移變換.
專題：作圖題.
分析：(1)利用平移的性質得出平移后圖象進而得出答案;
(2)利用位似圖形的性質得出對應點位置即可;
(3)利用等腰直角三角形的性質得出△A2B2C2的面積.
解答： 解：(1)如圖所示：C1(2，﹣2);
故答案為：(2，﹣2);
(2)如圖所示：C2(1，0);
故答案為：(1，0);
(3)∵A2C22=20，B2C =20，A2B2 =40，
∴△A2B2C2是等腰直角三角形，
∴△A2B2C2的面積是： ×20=10平方單位.
故答案為：10.
點評：此題主要考查了位似圖形的性質以及平移的性質和三角形面積求法等知識，得出對應點坐標是解題關鍵.
23.如圖，某農場老板準備建造一個矩形羊圈ABCD，他打算讓矩形羊圈的一面完全靠著墻MN，墻MN可利用的長度為25m，另外三面用長度為50m的籬笆圍成(籬笆正好要全部用完，且不考慮接頭的部分)
(1)若要使矩形羊圈的面積為300m2，則垂直于墻的一邊長AB為多少米?
(2)農場老板又想將羊圈ABCD的面積重新建造成面積為320m2，從而可以養更多的羊，請聰明 的你告訴他：他的這個想法能實現嗎?為什么?
考點：一元二次方程的應用.
專題：幾何圖形問題.
分析：(1)設所圍矩形ABCD的寬AB為x米，則寬AD為(50﹣2x)米，根據矩形面積的計算方法列出方程求解.
(2)假使矩形面積為320，則x無實數根，所以不能圍成矩形場地.
解答： 解：(1)設所圍矩形ABCD的寬AB為x米，則寬AD為(50﹣2x)米.
依題意，得x•(50﹣2x)=300，
即，x2﹣25x+150=0，
解此方程，得x1=15，x2=10.
∵墻的長度不超過25m，
∴ x2=10不合題意，應舍去.
∴垂直于墻的一邊長AB為15米.
(2)不能.
因為由x•(50﹣2x)=320得x2﹣25x+160=0.
又∵b2﹣4ac=(25)2﹣4×1×160=﹣15<0，
∴上述方程沒有實數根.
因此，不能使所圍矩形場地的面積為320m2.
點評：此題考查了一元二次方程的應用，不僅是一道實際問題，而且結合了矩形的性質，解答此題要注意以下問題：
(1)矩形的一邊為墻， 且墻的長度不超過45米;
(2)根據矩形的面積公式列一元二次方程并根據根的判別式來判斷是否兩邊長相等.
24.探究一：如圖，正△ABC中，E為AB邊上任一點，△CDE為正三角形，連接AD，猜想AD與BC的位置關系，并說明理由.
探究二：如圖，若△ABC為任意等腰三角形，AB=AC，E為AB上任一點，△CDE為等腰三角形，DE=DC，且∠BAC=∠EDC，連接AD，猜想AD與BC的位置關系，并說明理由.
考點：等邊三角形的性質;平行線的判定與性質;等腰三角形的性質.
專題：探究型.
分析：猜想AD與BC的位置關系為AD∥BC，欲證AD∥BC，可以根據正三角形，等腰三角形的性質，證明△ACD∽△BCE，再證明AD與BC的內錯角相等，得出結論.
解答： 解：(1)AD與BC的位置關系為AD∥BC;
∵△ABC和△DEC是正三角形，
∴△ABC∽△DEC，∠ACB=∠DCE=60°.
∴ = ，∠DCA=∠ECB.
∴△ACD∽△BCE.
∴∠DAC=∠EBC=60°.
∴∠DAC=∠ACB.
∴AD∥BC.
(2)AD與BC的位置關系為AD∥BC;
∵△ABC和△DEC是等腰三角形
DE=DC，且∠BAC=∠EDC，
∴∠ACB=∠DCE.
∴ = ，∠DCA=∠ECB.
∴△ACD∽△BCE.
∴∠DAC=∠EBC.
∴∠DAC=∠ACB.
∴AD∥BC.
點評：觀察測量，然后進行推理證明，是數學知識發現的基本規律.本題考查了正三角形，等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，平行線的判定.注意證明方式相同.
25.有一種可食用的野生菌，剛上市時，外商李經理以每千克30元的市場價格收購了這種野生菌1000千克存放入冷庫中，據預測，該野生菌的市場價格將每天每千克上漲1元;但冷凍存放這批野生菌時每天需要支出各種費用合計310元，而且這種野生菌在冷庫中最多保存140天，同時，平均每天有3千克的野生菌損壞導致不能出售.
(1)若存放x天后，將這批野生菌一次性出售，設這批野生菌的銷售總額為P元，試求出P與x之間的函數關系式;
(2)李經理將這批野生菌存放多少天后一次性全部出售可以獲得22500元的利潤?
考點：一元二次方程的應用;根據實際問題列二次函數關系式.
分析：(1)根據等量關系：銷售金額=x天后能售出的香菇質量×售價，然后列式整理即可得解;
(2)根據利潤=銷售金額﹣成本，列出方程，然后解關于x的一元二次方程即可解得.
解答： 解：(1)y=(1000﹣3x)×(30+x)，
=﹣3x2+910x320000，
即y=﹣3x2+910x+30000(1≤x≤140，且x為整數);
(2)獲得利潤22500元時，w=(﹣3x2+910x+30000)﹣30×1000﹣310x=22500，
解得x1=50，x2=150，
∵香菇在冷庫中最多保存140天，
∴x=50.
答：李經理想獲得利潤22500元，需將這批香菇存放50天后出售.
點評：本題考查的是二次函數在實際生活中的應用及一元二次方程的應用，找出銷售金額的等量關系是解題的關鍵.
26.已知：如圖，△ABC內接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點F，交⊙O于點D，DE⊥AB于點E，且交AC于點P，連結AD.
(1)求證：∠DAC=∠DBA;
(2)求證：P是線段AF的中點;
(3)連接CD，若CD﹦3，BD﹦4，求⊙O的半徑和DE的長.
考點：圓的綜合題.
分析：(1)利用角平分線的性質得出∠CBD=∠DBA，進而得出∠DAC=∠DBA，再利用互余的性質得出∠DAC=∠ADE，進而得出∠DAC=∠DBA;
(2)利用圓周角定理得出∠ADB=90°，進而求出∠PDF=∠PFD，則PD=PF，求出PA=PF，即可得出答案;
(3)利用勾股定理得出AB的長，再利用三角形面積求出DE即可.
解答： (1)證明：∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC與∠CBD都是弧CD所對的圓周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA，
∵AB是⊙O的直徑，DE⊥AB，
∴∠ADB=∠AED=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°，
∴∠ADE=∠DBA，
∴∠DAC=∠ADE，
∴∠DAC=∠DBA;
(2)證明：∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB=90°，
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，
∴PD=PA，
∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°，
∴∠PDF=∠PFD，
∴PD=PF，
∴PA=PF，即P是線段AF的中點;
(3)解：連接CD，
∵∠CBD=∠DBA，
∴CD=AD，
∵CD﹦3，∴AD=3，
∵∠ADB=90°，
∴AB=5，
故⊙O的半徑為2.5，
∵DE×AB=AD×BD，
∴5DE=3×4，
∴DE=2.4.
即DE的長為2.4.
點評：此題主要考查了圓的綜合以及圓周角定理和勾股定理以及三角形面積等知識，熟練利用圓周角定理得出各等量關系是解題關鍵.
27.閱讀理解：
如圖1，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E(點E不與點A、點B重合)，分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點;如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強相似點.解決問題：
(1)如圖1，∠A=∠B=∠DEC=55°，試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由;
(2)如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點均在正方形網格(網格中每個小正方形的邊長為1)的格點(即每個小正方形的頂點)上，試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個強相似點E;
拓展探究：
(3)如圖3，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處.若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，試探究AB和BC的數量關系.
考點：相似形綜合題.
專題：壓軸題.
分析：(1)要證明點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△BEC，所以問題得解.
(2)根據兩個直角三角形相似得到強相似點的兩種情況即可.
(3)因為點E是梯形ABCD的AB邊上的一個強相似點，所以就有相似三角形出現，根據相似三角形的對應線段成比例，可以判斷出AE和BE的數量關系，從而可求出解.
解答： 解：(1)點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點.
理由：∵∠A=55°，
∴∠ADE+∠DEA=125°.
∵∠DEC=55°，
∴∠BEC+∠DEA=125°.
∴∠ADE=∠BEC.
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC.
∴點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點.
(2)作圖如下：
(3)∵點E是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM.
由折疊可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，
∴∠BCE= ∠BCD=30°，
∴BE= CE= AB.
在Rt△BCE中，tan∠BCE= =tan30°，
∴ ，
∴ .
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，梯形的性質以及理解相似點和強相似點的概念等，從而可得到結論.
28.如圖，以點P(﹣1，0)為圓心的圓，交x軸于B、C兩點(B在C的左側)，交y軸于A、D兩點(A在D的下方)，AD=2 ，將△ABC繞點P旋轉180°，得到△MCB.
(1)求B、C兩點的坐標;
(2)請在圖中畫出線段MB、MC，并判斷四邊形ACMB的形狀(不必證明)，求出點M的坐標;
(3)動直線l從與BM重合的位置開始繞點B順時針旋轉，到與BC重合時停止，設直線l與CM交點為E，點Q為BE的中點，過點E作EG⊥BC于G，連接MQ、QG.請問在旋轉過程中∠MQG的大小是否變化?若不變，求出∠MQG的度數;若變化，請說明理由.
考點：圓的綜合題.
專題：壓軸題.
分析：(1)連接PA，運用垂徑定理及勾股定理即可求出圓的半徑，從而可以求出B、C兩點的坐標.
(2)由于圓P是中心對稱圖形，顯然射線AP與圓P的交點就是所需畫的點M，連接MB、MC即可;易證四邊形ACMB是矩形;過點M作MH⊥BC，垂足為H，易證△MHP≌△AOP，從而求出MH、OH的長，進而得到點M的坐標.
(3)易證點E、M、B、G在以點Q為圓心，QB為半徑的圓上，從而得到∠MQG=2∠MBG.易得∠OCA=60°，從而得到∠MBG=60°，進而得到∠MQG=120°，所以∠MQG是定值.
解答： 解：(1)連接PA，如圖1所示.
∵PO⊥AD，
∴AO=DO.
∵AD=2 ，
∴OA= .
∵點P坐標為(﹣1，0)，
∴OP=1.
∴PA= =2.
∴BP=CP=2.
∴B(﹣3，0)，C(1，0).
(2)連接AP，延長AP交 ⊙P于點M，連接MB、MC.
如圖2所示，線段MB、MC即為所求作.
四邊形AC MB是矩形.
理由如下：
∵△MCB由△ABC繞點P旋轉180°所得，
∴四邊形ACMB是平行四邊形.
∵BC是⊙P的直徑，
∴∠CAB=90°.
∴平行四邊形ACMB是矩形.
過點M作MH⊥BC，垂足為H，如圖2所示.
在△MHP和△AOP中，
∵∠MHP=∠AOP，∠HPM=∠OPA，MP=AP，
∴△MHP≌△AOP.
∴MH=OA= ，PH=PO=1.
∴OH=2.
∴點M的坐標為(﹣2， ).
(3)在旋轉過程中∠MQG的大小不變.
∵四邊形ACMB是矩形，
∴∠BMC=90°.
∵EG⊥BO，
∴∠BGE=90°.
∴∠BMC=∠BGE=90°.
∵點Q是BE的中點，
∴QM=QE=QB=QG.
∴點E、M、B、G在以點Q為圓心，QB為半徑的圓上，如圖3所示.
∴∠MQG=2∠MBG.
∵∠COA=90°，OC=1，OA= ，
∴tan∠OCA= = .
∴∠OCA=60°.
∴∠MBC=∠BCA=60°.
∴∠MQG=120°.
∴在旋轉過程中∠MQG的大小不變，始終等于120°.
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