2016-2017初三期中考試卷數學
書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟。下面是小編整理的2016-2017初三期中考試卷數學篇，歡迎大家試做。
一、選擇題(每題3分，共18分)
1.一元二次方程x2+px+q=0的兩根為3、4，那么二次三項式x2+px+q可分解為( )
A. (x+3)(x﹣4) B. (x﹣3)(x+4) C. (x﹣3)(x﹣4) D. (x+3)(x+4)
2.如果x：(x+y)=3：5，那么x：y=( )
A. B. C. D.
3.△ABC中，tanA=1，cosB= ，則△ABC的形狀是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 銳角三角形
4.小剛身高1.7m，測得他站立在陽光下的影長為0.85m，緊接著他把手臂豎直舉起，測得影長為1.1m，那么小剛舉起手臂超出頭頂( )
A. 0.5 m B. 0.55 m C. 0.6 m D. 2.2 m
5.某機械廠七月份生產零件50萬個，第三季度生產零件196萬個.設該廠八、九月份平均每月的增長率為x，那么x滿足的方程是( )
A. 50(1+x2)=196 B. 50+50(1+x2)=196
C. 50+50(1+x)+50(1+x)2=196 D. 50+50(1+x)+50(1+2x)=196
6.如圖，邊長分別為4和8的兩個正方形ABCD和CEFG并排放在一起，連結BD并延長交EG于點T，交FG于點P，則GT=( )
A. B. 2 C. 2 D. 1
二、填空題(每題3分，共30分)
7.一公園占地面積約為800000m2，若按比例尺1：2000縮小后，其面積約為 m2.
8.設a，b是方程x2+x﹣2009=0的兩個實數根，則a2+2a+b的值為 .
9.若最簡二次根式 與 是同類二次根式，則x= .
10.已知：如圖，E(﹣4，2)，F(﹣1，﹣1)，以O為位似中心，按比例尺1：2，把△EFO縮小，則點E的對應點E′的坐標為 .
11.關于x的一元二次方程(a﹣6)x2﹣8x+9=0有實根，則實數a的范圍為 .
12.無論x取任何實數，代數式 都有意義，則m的取值范圍為 .
13.如圖，兩條寬度都為1的紙條，交叉重疊放在一起，且它們的交角為α，則它們重疊部分(圖中陰影部分)的面積為 .
14.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC= ，則tan = .
15.在Rt△ABC的直角邊AC邊上有一動點P(點P與點A，C不重合)，過點P作直線截得的三角形與△ABC相似，滿足條件的直線最多有 條.
16.如圖，點P(t，0)是x軸正半軸上的一個動點，過點P作y軸的平行線，分別與直線y= x，直線y=﹣x交于A，B兩點，以AB為邊向右側作正方形ABCD.有下列五個結論：
①∠AOB=90°;②△AOB是等腰三角形;③OP2=2AP•PB;④S△AOB=3S△AOP;⑤當t=2時，正方形ABCD的周長是16.
其中正確結論的序號是 .
三、解答題(共102分)
17.解方程
(1)x2﹣6x﹣18=0(配方法)
(2)3x2+5(2x+1)=0(公式法)
18.計算下列各題：
(1) sin6 0°﹣tan30°•cos60°;
(2)|﹣ |+2﹣1+ (π﹣ )0﹣tan60°.
19.先化簡，再求值： ，其中a滿足方程a2+4a+1=0.
20.如圖，路燈(P點)距地面8米，身高1.6米的小明從距路燈的底部(O點)20米的A點，沿OA所在的直線行走14米到B點時，身影的長度是變長了還是變短了?變長或變短了多少米?
21.某 工廠現有80臺機器，每臺機器平均每天生產384件產品，現準備增加一批同類機器以提高生產總量，在試生產中發現，由于其它生產條件沒變，因此每增加一臺機器，每臺機器平均每天將少生產4件產品 .問應增加多少臺機器，才可以使每天的生產總量達到30976件?
22.如圖，大樓AB的高為16m，遠處有一塔CD，小李在樓底A處測得塔頂D處的仰角為60°，在樓頂B處測得塔頂D處的仰角為45°，其中A、C兩點分別位于B、D兩點正下方，且A、C兩點在同一水平線上，求塔CD的高.
23.已知關于x的方程x2﹣(2k+1)x+4(k﹣ )=0.
(1)求證：無論k取什么實數值，這個方程總有實數根;
(2)能否找到一個實數k，使方程的兩實數根互為相反數?若能找到，求出k的值;若不能，請說明理由.
(3)當等腰三角形ABC的邊長a=4，另兩邊的長b、c恰好是這個方程的兩根時，求△ABC的周長.
24.在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，對角線AC與BD相交于點O，線段OA，OB的中點分別為E，F.
(1)求證：△FOE≌△DOC;
(2)求sin∠OEF的值;
(3)若直線EF與線段AD，BC分別相交于點G，H，求 的值.
25.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm.動點M，N從點C同時出發，均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點A，B移動，同時動點P從點B出發，以每秒2cm的速度沿BA向終點A移動，連接PM，PN，設移動時間為t(單位：秒，0
(1)當t為何值時，以A，P，M為頂點的三角形與△ABC相似?
(2)是否存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值?若存在，求S的最小值;若不存在，請說明理由.
26.如圖，在正方形ABCD中，E為BC上一點，且BE=2CE;F為AB上一動點，BF=nAF，連接DF，AE交于點P.
(1)若n=1，則 = ， = ;
(2)若n=2，求證：8AP=3PE;
(3)當n= 時，AE⊥DF(直接填出結果，不要求證明).
2014-2015學年江蘇省泰州市靖江市靖城中學共同體九年級(上)期中數學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題(每題3分，共18分)
1.一元二次方程x2+px+q=0的兩根為3、4，那么二次三項式x2+px+q可分解為( )
A. (x+3)(x﹣4) B. (x﹣3)(x+4) C. (x﹣3)(x﹣4) D. (x+3)(x+4)
考點： 解一元二次方程-因式分解法.
專題： 壓軸題.
分析： 只有把等號左邊的二次三項式分解為(x﹣x1)(x﹣x2)，它的根才可能是x1，x2.
解答： 解：若一元二次方程x2+px+q=0的兩根為3、4，
那么倒數第二步為：(x﹣3)(x﹣4)=0，
∴x2+px+q=(x﹣3)(x﹣4)，故選C.
點評： 用到的知識點為：若一元二次方程的兩根為x1，x2，那么一元二次方程可整理為(x﹣x1)(x﹣x2)=0.
2.如果x：(x+y)=3：5，那么x：y=( )
A. B. C. D.
考點： 比例的性質.
分析： 首先根據x：(x+y)=3：5可得5x=3x+3y，整理可得2x=3y，進而得到x：y=3：2.
解答： 解：∵x：(x+y)=3：5，
∴5x=3x+3y，
2x=3y，
∴x：y=3：2= ，
故選：D.
點評： 此題主要考查了比例的性質，關鍵是掌握內項之積等于外項之積.
3.△ABC中，tanA=1，cosB= ，則△ABC的形狀是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 銳角三角形
考點： 特殊角的三角函數值.
分析： 先根據△ABC中，tanA=1，cosB= 求出∠A及∠B的度數，進而可得出結論.
解答： 解：∵△ABC中，tanA=1，cosB= ，
∴∠A=90°，∠B=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形.
故選C.
點評： 本題考查的是特殊角的三角函數值，熟記各特殊角度的三角函數值是解答此題的關鍵.
4.小剛身高1.7m，測得他站立在陽光下的影長為0.85m，緊接著他把手臂豎直舉起，測得影長為1.1m，那么小剛舉起手臂超出頭頂( )
A. 0.5 m B. 0.55 m C. 0.6 m D. 2.2 m
考點： 相似三角形的應用.
分析： 根據在同一時物體的高度和影長成正比，設出手臂豎直舉起時總高度x，即可列方程解出x的值，再減去身高即可得出小剛舉起的手臂超出頭頂的高度.
解答： 解：設手臂豎直舉起時總高度xm，列方程得：
= ，
解得x=2.2，
2.2﹣1.7=0.5m，
所以小剛舉起的手臂超出頭頂的高度為0.5m.
故選：A.
點評： 本題考查了相似三角形的應用，解答此題的關鍵是明確在同一時刻物體的高度和影長成正比.
5.某機械廠七月份生產零件50萬個，第三季度生產零件196萬個.設該廠八、九月份平均每月的增長率為x，那么x滿足的方程是( )
A. 50(1+x2)=196 B. 50+50(1+x2)=196
C. 50+50(1+x)+50(1+x)2=196 D. 50+50(1+x)+50(1+2x)=196
考點： 由實際問題抽象出一元二次方程.
專題： 增長率問題.
分析： 主要考查增長率問題，一般增長后的量=增長前的量×(1+增長率)，如果該廠八、九月份平均每月的增長率為x，那么可以用x分別表示八、九月份的產量，然后根據題意可得出方程.
解答： 解：依題意得八、九月份的產量為50(1+x)、50(1+x)2，
∴50+50(1+x)+50(1+x)2=196.
故選C.
點評： 本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，增長率問題，一般形式為a(1+x)2=b，a為起始時間的有關數量，b為終止時間的有關數量.
6.如圖，邊長分別為4和8的兩個正方形ABCD和CEFG并排放在一起，連結BD并延長交EG于點T，交FG于點P，則GT=( )
A. B. 2 C. 2 D. 1
考點： 正方形的性質.
專題： 壓軸題.
分析： 根據正方形的對角線平分一組對角可得∠ADB=∠CGE=45°，再求出∠GDT=45°，從而得到△DGT是等腰直角三角形，根據正方形的邊長求出DG，再根據等腰直角三角形的直角邊等于斜邊的 倍求解即可.
解答： 解：∵BD、GE分別是正方形ABCD，正方形CEFG的對角線，
∴∠ADB=∠CGE=45°，
∴∠GDT=180°﹣90°﹣45°=45°，
∴∠DTG=180°﹣∠GDT﹣∠CGE=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴△DGT是等腰直角三角形，
∵兩正方形的邊長分別為4，8，
∴DG=8﹣4=4，
∴GT= ×4=2 .
故選B.
點評： 本題考查了正方形的性質，主要利用了正方形的對角線平分一組對角，等腰直角三角形的判定與性質.
二、填空題(每題3分，共30分)
7.一公園占地面積約為800000m2，若按比例尺1：2000縮小后，其面積約為 0.2 m2.
考點： 比例線段.
專題： 應用題.
分析： 根據相似多邊形面積的比是相似比的平方，列比例式求得圖上面積.
解答： 解：設其縮小后的面積為xm2，
則x：800000=(1：200 0)2，
解得x=0.2m2.
∴其面積約為0.2m2.
點評： 注意相似多邊形的面積的比是相似比的平方.
8.設a，b是方程x2+x﹣2009=0的兩個實數根，則a2+2a+b的值為 2008 .
考點： 根與系數的關系;一元二次方程的解.
分析： 根據根與系數的關系，可先求出a+b的值，然后代入所求代數式，又因為a是方程x2+x﹣2009=0的根，把a代入方程可求出a2+a的值，再代入所求代數式可求值.
解答： 解：根據題意得a+b=﹣1，ab=﹣2009，
∴a2+2a+b=a2+a+a+b=a2+a﹣1，
又∵a是x2+x﹣2009=0的根，
∴a2+a﹣2009=0，
∴a2+a=2009，
∴a2+2a+b=2009﹣1=2008.
點評： 根據根與系數的關系、以及方程根的定義可求此題.
9.若最簡二次根式 與 是同類二次根式，則x= 5 .
考點： 同類二次根式.
專題： 計算題.
分析： 根據同類二次根式的被開方數相同可得出關于x的方程，解出即可.
解答： 解：由題意得：x2﹣4x=10﹣x，
解得：x=5或x=﹣2，
當x=﹣2是不滿足為最簡二次根式，故舍去.
故答案為：5.
點評： 本題考查同類二次根式的知識，難度不大，注意求出x之后檢驗是否滿足題意.
10.( 3分)(2011•白下區二模)已知：如圖，E(﹣4，2)，F(﹣1，﹣1)，以O為位似中心，按比例尺1：2，把△EFO縮小，則點E的對應點E′的坐標為 (﹣2，1)或(2，﹣1) .
考點： 位似變換.
分析： E(﹣4，2)以O為位似中心，按比例尺1：2，把△EFO縮小，則點E的對應點E′的坐標是E(﹣4，2)的坐標同時乘以 或﹣ ，因而得到的點E′的坐標為(﹣2，1)或(2，﹣1).
解答： 解：根據題意可知，點E的對應點E′的坐標是E(﹣4，2)的坐標同時乘以 或﹣ ，
所以點E′的坐標為(﹣2，1)或(2，﹣1).
點評： 關于原點成位似的兩個圖形，若位似比是k，則原圖形上的點(x，y)，經過位似變化得到的對應點的坐標是(kx，ky)或(﹣kx，﹣ky).是需要記憶的內容.
11.關于x的一元二次方程(a﹣6)x2﹣8x+9=0有實根，則實數a的范圍為 a≤ 且a≠6 .
考點： 根的判別式;一元二次方程的定義.
分析： 根據一元二次方程的定義及根的判別式的意義，得出a﹣6≠0且△=64﹣36(a﹣6)≥0，求出不等式組的解集即可得到實數a的范圍.
解答： 解：∵關于x的一元二次方程(a﹣6)x2﹣8x+9=0有實根，
∴a﹣6≠0且△=64﹣36(a﹣6)≥0，
解得a≤ 且a≠6.
故答案為：a≤ 且a≠6.
點評： 本題考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
(1)△>0⇔方程有兩個不相等的實數根;
(2)△=0⇔方程有兩個相等的實數根;
(3)△<0⇔方程沒有實數根.
同時考查了一元二次方程的定義.
12. 無論x取任何實數，代數式 都有意義，則m的取值范圍為 m≥9 .
考點： 二次根式有意義的條件;非負數的性質：偶次方;配方法的應用.
專題： 壓軸題.
分析： 二次根式的被開方數是非負數，即x2﹣6x+m=(x﹣3)2﹣9+m≥0，所以(x﹣3)2≥9﹣m.通過偶次方(x﹣3)2是非負數可求得9﹣m≤0，則易求m的取值范圍.
解答： 解：由題意，得
x2﹣6x+m≥0，即(x﹣3)2﹣9+m≥0，
∵(x﹣3)2≥0，要使得(x﹣3)2﹣9+ m恒大于等于0，
∴m﹣9≥0，
∴m≥9，
故答案為：m≥9.
點評： 考查了二次根式的意義和性質.概念：式子 (a≥0)叫二次根式.性質：二次根式中的被開方數必須是非負數，否則二次根式無意義.
13.如圖，兩條寬度都為1的紙條，交叉重疊放在一起，且它們的交角為α，則它們重疊部分(圖中陰影部分)的面積為 .
考點： 解直角三角形;特殊角的三角函數值.
分析： 重疊部分為菱形，運用三角函數定義先求邊長AB，再求出面積.
解答： 解：∵AC= ，
∴它們重疊部分(圖中陰影部分)的面積為：
×1= .
故答案為： .
點評： 本題問題中，巧妙的運用三角函數求邊長是解題的關鍵.
14.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC= ，則tan = .
考點： 特殊角的三角函數值.
分析： 先根據題意畫出圖形，由特殊角的三角函數值求出∠A的度數，再求則tan 的值即可.
解答： 解：如圖所示，AB=2，BC= ，
∴sinA= = ，
∴∠A=60°.
∴tan =tan30°= .
點評： 此題比較簡單，解答此題的關鍵是熟知特殊角的三角函數值，根據數形結合解答.
15.在Rt△ABC的直角邊AC邊上有一動點P(點P與點A，C不重合)，過點P作直線截得的三角形與△ABC相似，滿足條件的直線最多有 4 條.
考點： 相似三角形的判定.
分析： 過點P作直線與另一邊相交，使所得的三角形與原三角形已經有一個公共角，只要再作一個等于△ABC的另一個角即可.
解答： 解：①過點P作AB的垂線段PD，則△ADP∽△ACB;
②過點P作BC的平行線PE，交AB于E，則△APE∽△ACB;
③過點P作AB的平行線PF，交BC于F，則△PCF∽△ACB;
④作∠PGC=∠A，則△GCP∽△ACB.
故答案為：4.
點評： 本題主要考查相似三角形的判定，用到的知識點：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似;有兩個角對應相等的兩個三角形相似.
16.如圖，點P(t，0)是x軸正半軸上的一個動點，過點P作y軸的平行線，分別與直線y= x，直線y=﹣x交于A，B兩點，以AB為邊向右側作正方形ABCD.有下列五個結論：
①∠AOB=90°;②△AOB是等腰三角形;③OP2=2AP•PB;④S△AOB=3S△AOP;⑤當t=2時，正方形ABCD的周長是16.
其中正確結論的序號是 ③④ .
考點： 一次函數綜合題.
分析： ①由兩條垂直直線的斜率的積等于﹣1即可判定①∠AOB=90°故選項錯誤;
②根據等腰三角形的判定定理即可判定②△AOB是等腰三角形，故選項錯誤;
③由直線的斜率可知 = ， =1，根據2( )= ，即可求得OP2=2AP•PB，故選項正確;
④設A(m， m)，則B(m，﹣m)，得出△AOP的面積= OP• m= m•OP，△BOP的面積= OP•m= •OP，從而求得S△BOP=2S△AOP，進而得出S△AOB=3S△AOP，故選項正確;
⑤t=2時根據直線的解析式先求得PA=1、PB=2，進而求得AB=3，所以正方形的周長=12，故選項錯誤;
解答： 解：①由直線y= x，直線y=﹣x可知，它們的斜率的積=﹣ ≠﹣1，所以∠AOB≠90°，故∠AOB=90°錯誤;
②∵AB⊥x軸，∠AOP≠∠BOP，∠AOB≠90°
∴OA≠OB，OB≠AB，OA≠AB，
∴△AOB不是等腰三角形，故△AOB是等腰三角形;
③由直線的斜率可知： = ， =1，
∴2( )= ，
∴OP2=2AP•PB，故OP2=2AP•PB正確;
④設A(m， m)，則B(m，﹣m)，
∵△AOP的面積= OP• m= m•OP，△BOP的面積= OP•m= •OP，
∴S△BOP=2S△AOP，
∴S△AOB=3S△AOP，
故S△AOB=3S△AOP正確;
⑤t=2時，PA= ×2=1，
PB=|﹣1×2|=2，
∴AB=PA+PB=1+2=3，
∴正方形ABCD的周長=4AB=4×3=12;故當t=2時，正方形ABCD的周長是16錯誤;
故答案為③④.
點評： 本題考查了 直線斜率的特點，等腰三角形的判定，直角三角函數的意義，三角形的面積的求法，正方形的周長等，③OP2=2AP•PB的求得是本題的難點.
三、解答題(共102分)
17.解方程
(1)x2﹣6x﹣18=0(配方法)
(2)3x2+5(2x+1)=0(公式法)
考點： 解一元二次方程-配方法;解一元二次方程-公式法.
分析： (1)先移項，再在方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，將方程左邊配成完全平方式，最后根據直接開平方解可以求解了.
(2)將原方程轉化為一般形式，再求出a、b、c的值，最后代入求根求解就可以了.
解答： 解：(1)移項，得
x2﹣6x=18，
在方程兩邊同時加上9，得
x2﹣6x+9=18+9，
左邊配方，得
(x﹣3)2=27，
解得x﹣3= ，
∴x1=3 +3，x2=﹣3 +3
(2)原方程變形為：
3x2+10x+5=0
∴a=3，b=10，c=5，
∴△=b2﹣4ac=100﹣60=40>0，
∴x= ，
∴x1= ，x2= .
點評： 本題是一道一元二次方程的解答題，考查了用配方法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程的方法.
18.計算下列各題：
(1) sin60°﹣tan30°•cos60°;
(2)|﹣ |+2﹣1+ (π﹣ )0﹣tan60°.
考點： 實數的運算;零指數冪;負整數指數冪;特殊角的三角函數值.
分析： (1)將特殊角的三角函數值代入求解;
(2)分別進行絕對值的化簡、負整數指數冪、零指數冪等運算，然后合并.
解答： 解：(1)原式= ﹣ ×
= ﹣ ;
(2)原式= + + ﹣
=1.
點評： 本題考查了實數的運算，涉及了絕對值的化簡、負整數指數冪、零指數冪等知識，屬于基礎題.
19.先化簡，再求值： ，其中a滿足方程a2+4a+1=0.
考點： 分式的化簡求值.
專題： 計算題.
分析： 把原式括號里的第二項提取﹣1，然后把原式的各項分子分母都分解因式，找出括號里兩項分母的最簡公分母，利用分式的基本性質對括號里兩項進行通分，然后利用同分母分式的減法運算法則：分母不變，只把分子相減，計算出結果，然后利用分式的除法法則：除以一個數等于乘以這個數的倒數，變形為乘法運算，約分后即可把原式化為最簡分式，把a滿足的方程變形后，代入原式化簡后的式子中即可求出值.
解答： 解：原式=
=
=
= = ，(6分)
∵a2+4a+1=0，∴a2+4a=﹣1，
∴原式= .(10分)
點評： 此題考查了分式的混合運算，以及多項式的運算.分式的化簡求值題，應先對原式的分子分母分解因式，在分式的化簡運算中，要通觀全局，弄清有哪些運算，然后觀察能否用法則，定律，分解因式及公式來簡化運算，同時注意運算的結果要化到最簡，然后再代值計算.
20.如圖，路燈(P點)距地面8米，身高1.6米的小明從距路燈的底部(O點)20米的A點，沿OA所在的直線行走14米到B點時，身影的長度是變長了還是變短了?變長或變短了多少米?
考點： 相似三角形的應用.
專題： 應用題.
分析： 如圖，由于AC∥BD∥OP，故有△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP即可由相似三角形的性質求解.
解答： 解：∵∠MAC=∠MOP=90°，
∠AMC=∠OMP，
∴△MAC∽△MOP.
∴ ，
即 ，
解得，MA=5米;
同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，
∴小明的身影變短了5﹣1.5=3.5米.
點評： 解題時關鍵是找出相似的三角形，然后根據對應邊成比例列出方程，建立適當的數學模型來解答問題.
21.某工廠現有80臺機器，每臺機器平均每天生產384件產品，現準備增加一批同類機器以提高生產總量，在試生產中發現，由于其它生產條件沒變，因此每增加一臺機器，每臺機器平均每天將少生產4件產品.問應增加多少臺機器，才可以使每天的生產總量達到30976件?
考點： 一元二次方程的應用.
分析： 設至少增加x臺機器，可以使每天的生產總量達到30976頂，由于現有80臺機器，每臺機器平均每天生產384件產品，現準備增加一批 同類機器以提高生產總量，在生產過程中，由于其他生產條件沒變，因此每增加1臺機器，平均每臺每天將少生產4件產品，由此即可列出方程解決問題.
解答： 解：設增加x臺機器，
依題意得(80+x)(384﹣4x)=30976，
解得x1=x2=8.
答：應增加8臺機器，才可以使每天的生產總量達到30976件.
點評： 考查了一元二次方程的應用，此題和實際生活結合比較緊密，首先把握現有80臺機器，每臺機器平均每天生產384件產品，然后把握增加1臺機器，平均每臺每天將少生產4件產品就可以列出方程就問題.
22.如圖，大樓AB的高為16m，遠處有一塔CD，小李在樓底A處測得塔頂D處的仰角為60°，在樓頂B處測得塔頂D處的仰角為45°，其中A、C兩點分別位于B、D兩點正下方，且A、C兩點在同一水平線上，求塔CD的高.
考點： 解直角三角形的應用-仰角俯角問題.
專題： 應用題.
分析： 首先分析圖形，根據題意構造直角三角形.本題涉及兩個直角三角形，即Rt△BED和Rt△DAC，利用已知角的正切分別計算，可得到一個關于AC的方程，從而求出DC.
解答： 解：作BE⊥CD于E.
可得Rt△BED和矩形ACEB.
則有CE=AB=16，AC=BE.
在Rt△BED中，∠DBE=45°，DE=BE=AC.
在Rt△DAC中，∠DAC=60°，DC=ACtan60°= AC.
∵16+DE=DC，
∴16+AC= AC，
解得：AC=8 +8=DE.
所以塔CD的高度為(8 +24)米.
點評： 本題要求學生借助仰角關系構造直角三角形，并結合圖形利用三角函數解直角三角形.
23.已知關于x的方程x2﹣(2k+1)x+4(k﹣ )=0.
(1)求證：無論k取什么實數值，這個方程總有實數根;
(2)能否找到一個實數k，使方程的兩實數根互為相反數?若能找到，求出k的值;若不能，請說明理由.
(3)當等腰三角形ABC的邊長a=4，另兩邊的長b、c恰好是這個方程的兩根時，求△ABC的周長.
考點： 根與系數的關系;解一元二次方程-因式分解法;根的判別式;三角形三邊關系;等腰三角形的性質.
專題： 壓軸題;分類討論.
分析： (1)整理根的判別式，得到它是非負數即可.
(2)兩實數根互為相反數，讓﹣ =0即可求得k的值.
(3)分b=c，b=a兩種情況做.
解答： 證明：(1)∵△=(2k+1)2﹣16(k﹣ )=(2k﹣3)2≥0，
∴方程總有實根;
解：(2)∵兩實數根互為相反數，
∴x1+x2=2k+1=0，
解得k=﹣0.5;
(3)①當b=c時，則△=0，
即(2k﹣3)2=0，
∴k= ，
方程可化為x2﹣4x+4=0，
∴x1=x2=2，
而b=c=2，
∴b+c=4=a不適合題意舍去;
②當b=a=4，則42﹣4(2k+1)+4(k﹣ )=0，
∴k= ，
方程化為x2﹣6x+8=0，
解得x1=4，x2=2，
∴c=2，
C△ABC=10，
當c=a=4時，同理得b=2，
∴C△ABC=10，
綜上所述，△ABC的周長為10.
點評： 一元二次方程總有實數根應根據判別式來做，兩根互為相反數應根據根與系數的關系做，等腰三角形的周長應注意兩種情況，以及兩種情況的取舍.
24.在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，對角線AC與BD相交于點O，線段OA，OB的中點分別為E，F.
(1)求證：△FOE≌△DOC;
(2)求sin∠OEF的值;
(3)若直線EF與線段AD，BC分別相交于點G，H，求 的值.
考點： 相似三角形的判定與性質;全等三角形的判定與性質;勾股定理;三角形中位線定理;直角梯形;銳角三角函數的定義.
專題： 幾何綜合題.
分析： (1)由EF是△OAB的中位線，利用中位線定理，得EF∥AB，EF= AB，又CD∥AB，CD= AB，可得EF=CD，由平行線的性質可證△FOE≌△DOC;
(2)由平行線的性質可知∠OEF=∠CAB，利用sin∠OEF=sin∠CAB= ，由勾股定理得出AC與BC的關系，再求正弦值;
(3)由(1)可知AE=OE=OC，EF∥CD，則△AEG∽△ACD，利用相似比可得EG= CD，同理得FH= CD，又AB=2CD，代入 中求值.
解答： (1)證明：∵EF是△OAB的中位線，
∴EF∥AB，EF= AB，
而CD∥AB，CD= AB，
∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，
∴△FOE≌△DOC;
(2)解：∵EF∥AB，
∴∠OEF=∠CAB，
∵在Rt△ABC中，AC= = = BC，
∴sin∠OEF=sin∠CAB= = = ;
(3)解：∵AE=OE=OC，EF∥CD，
∴△AEG∽△ACD，
∴ = = ，即EG= CD，
同理FH= CD，
∴ = = .
點評： 本題綜合考查了全等三角形、相似三角形的判定與性質，勾股定理，中位線定理，銳角三角函數定義的運用.關鍵是由全等、相似得出相關線段之間的位置關系，數量關系.
25.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm.動點M，N從點C同時出發，均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點A，B移動，同時動點P從點B出發，以每秒2cm的速度沿BA向終點A移動，連接PM，PN，設移動時間為t(單位：秒，0
(1)當t為何值時，以A，P，M為頂點的三角形與△ABC相似?
(2)是否存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值?若存在，求S的最小值;若不存在，請說明理由.
考點： 相似形綜合題.
專題： 壓軸題.
分析： 根據勾股定理求得AB=5cm.
(1)分類討論：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC兩種情況.利用相似三角形的對應邊成比例來求t的值;
(2)如圖，過點P作PH⊥BC于點H，構造平行線PH∥AC，由平行線分線段成比例求得以t表示的PH的值;然后根據“S=S△ABC﹣S△BPH”列出S與t的關系式S= (t﹣ )2+ (0
解答： 解：∵如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm.
∴根據勾股定理，得 =5cm.
(1)以A，P，M為頂點的三角形與△ABC相似，分兩種情況：
①當△AMP∽△ABC時， = ，即 = ，
解得t= ;
②當△APM∽△ABC時， = ，即 = ，
解得t=0(不合題意，舍去);
綜上所述，當t= 時，以A、P、M為頂點的三角形與△ABC相似;
(2)存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值.理由如下：
假設存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值.
如圖，過點P作PH⊥BC于點H.則PH∥AC，
∴ = ，即 = ，
∴PH= t，
∴S=S△ABC﹣S△BPN，
= ×3×4﹣ ×(3﹣t)• t，
= (t﹣ )2+ (0
∵ >0，
∴S有最小值.
當t= 時，S最小值= .
答：當t= 時，四邊形APNC的面積S有最小值，其最小值是 .
點評： 本題綜合考查了相似三角形的判定與性質、平行線分線段成比例，二次函數最值的求法以及三角形面積公式.解答(1)題時，一定要分類討論，以防漏解.另外，利用相似三角形的對應邊成比例解題時，務必找準對應邊.
26 .如圖，在正方形ABCD中，E為BC上一點，且BE=2CE;F為AB上一動點，BF=nAF，連接DF，AE交于點P.
(1)若n=1，則 = ， = ;
(2)若n=2，求證：8AP=3PE;
(3)當n= 時，AE⊥DF(直接填出結果，不要求證明).
考點： 正方形的性質;相似三角形的判定與性質.
專題： 動點型.
分析： (1)可通過構建相似三角形，根據相似三角形的對應邊成比例來求解.
(2)同(1)解法.
(3)根據已知及相似三角形的性質進行求解.
解答： 解：(1)延長AE交DC的延長線于H，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB∥DH，
∴∠H=∠BAH，∠B=∠BCH，
∴△BEA∽△CEH，
∴ ，
設EC=m，則AB=BC=CD=3m，BE=2m，CH=1.5m，
同理：△AFP∽△DPH，
∴FP：PD=AP：PH=AF：DH=1.5m：4.5m=1：3，
設AP=n，PH=3n，AH=4n，AE：EH=2：1，EH= n，
∴PE= n，
∴AP：PE=3：5，
∴ = ， = ;
(2)證明：如圖，延長AE交DC的延長線于H，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB∥DH，
∴∠H=∠BAH，∠B=∠BCH，
∴△BEA∽△CEH，
∴ ，
設EC=2a，BE=4a，則AB=BC=CD=6a，CH=3a，AF=2a，
同理：△AFP∽△HD P， ，
設AP=2k，PH=9k，
∴AH=11k，
∴EH= ，
∴PE= ，
∴ = ，
∴8AP=3PE;
(3)當AE⊥DF時，tan∠BAE=PF：AP=BE：AB=2：3，
∵△AFP∽△AFD，
∴FP：AP=AF：AD=2：3，
∴AF= AD= AB，BF= AB，
∴BF= AF，
∴n= .
點評： 本題主要考查了正方形的性質，相似三角形的判定和性質等知識點，通過構建相似三角形得出相關線段間的比例關系是求解的關鍵。
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