高中數學對稱問題分類探析

時間：2020-10-14 10:27:37 學習方法

高中數學對稱問題分類探析

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高中數學對稱問題分類探析

　對稱問題是高中數學的重要內容之一，在高考數學試題中常出現一些構思新穎解法靈活的對稱問題，為使對稱問題的知識系統化，本文特作以下歸納。

　　一、點關于已知點或已知直線對稱點問題

　　1、設點P(x，y)關于點(a,b)對稱點為P′(x′，y′)，

　　x′=2a-x

　　由中點坐標公式可得：y′=2b-y

　　2、點P(x，y)關于直線L：Ax+By+C=O的對稱點為

　　x′=x-(Ax+By+C)

　　P′(x′，y′)則

　　y′=y-(AX+BY+C)

　　事實上：∵PP′⊥L及PP′的中點在直線L上，可得：Ax′+By′=-Ax-By-2C

　　解此方程組可得結論。

　　(- )=-1(B≠0)

　　特別地，點P(x，y)關于

　　1、x軸和y軸的對稱點分別為(x，-y)和(-x，y)

　　2、直線x=a和y=a的對標點分別為(2a-x，y)和(x，2a-y)

　　3、直線y=x和y=-x的對稱點分別為(y，x)和(-y，-x)

　　例1 光線從A(3,4)發出后經過直線x-2y=0反射，再經過y軸反射，反射光線經過點B(1,5)，求射入y軸后的反射線所在的直線方程。

　　解：如圖，由公式可求得A關于直線x-2y=0的對稱點

　　A′(5,0)，B關于y軸對稱點B′為(-1,5)，直線A′B′的方程為5x+6y-25=0

　　｀C(0, )

　　｀直線BC的方程為：5x-6y+25=0

二、曲線關于已知點或已知直線的對稱曲線問題

　　求已知曲線F(x，y)=0關于已知點或已知直線的對稱曲線方程時，只須將曲線F(x，y)=O上任意一點(x，y)關于已知點或已知直線的對稱點的坐標替換方程F(x，y)=0中相應的作稱即得，由此我們得出以下結論。

　　1、曲線F(x，y)=0關于點(a,b)的對稱曲線的方程是F(2a-x，2b-y)=0

　　2、曲線F(x，y)=0關于直線Ax+By+C=0對稱的曲線方程是F(x-(Ax+By+C)，y-(Ax+By+C))=0

　　特別地，曲線F(x，y)=0關于

　　(1)x軸和y軸對稱的曲線方程分別是F(x，-y)和F(-x，y)=0

　　(2)關于直線x=a和y=a對稱的曲線方程分別是F(2a-x，y)=0和F(x，2a-y)=0

　　(3)關于直線y=x和y=-x對稱的曲線方程分別是F(y，x)=0和F(-y，-x)=0

　　除此以外還有以下兩個結論：對函數y=f(x)的圖象而言，去掉y軸左邊圖象，保留y軸右邊的圖象，并作關于y軸的對稱圖象得到y=f(|x|)的圖象；保留x軸上方圖象，將x軸下方圖象翻折上去得到y=|f(x)|的圖象。

　　例2(全國高考試題)設曲線C的方程是y=x3-x。將C沿x軸y軸正向分別平行移動t，s單位長度后得曲線C1：

　　1)寫出曲線C1的方程

　　2)證明曲線C與C1關于點A( , )對稱。

　　(1)解知C1的方程為y=(x-t)3-(x-t)+s

　　(2)證明在曲線C上任取一點B(a,b)，設B1(a1,b1)是B關于A的對稱點，由a=t-a1，b=s-b1，代入C的方程得：

　　s-b1=(t-a1)3-(t-a1)

　　｀b1=(a1-t)3-(a1-t)+s

　　｀B1(a1,b1)滿足C1的方程

　　｀B1在曲線C1上，反之易證在曲線C1上的點關于點A的對稱點在曲線C上

　　｀曲線C和C1關于a對稱

　　我們用前面的結論來證：點P(x,y)關于A的對稱點為P1(t-x,s-y)，為了求得C關于A的對稱曲線我們將其坐標代入C的方程，得：s-y=(t-x)3-(t-x)

　　｀y=(x-t)3-(x-t)+s

　　此即為C1的方程，｀C關于A的`對稱曲線即為C1。

　　三、曲線本身的對稱問題

　　曲線F(x,y)=0為(中心或軸)對稱曲線的充要條件是曲線F(x,y)=0上任意一點P(x,y)(關于對稱中心或對稱軸)的對稱點的坐標替換曲線方程中相應的坐標后方程不變。

　　例如拋物線y2=-8x上任一點p(x,y)與x軸即y=0的對稱點p′(x,-y)，其坐標也滿足方程y2=-8x，｀y2=-8x關于x軸對稱。

　　例3 方程xy2-x2y=2x所表示的曲線：

　　A、關于y軸對稱 B、關于直線x+y=0對稱

　　C、關于原點對稱 D、關于直線x-y=0對稱

　　解：在方程中以-x換x，同時以-y換y得

　　(-x)(-y)2-(-x)2(-y)=-2x，即xy2-x2y=2x方程不變

　　｀曲線關于原點對稱。

　　函數圖象本身關于直線和點的對稱問題我們有如下幾個重要結論：

　　1、函數f(x)定義線為R，a為常數，若對任意x∈R，均有f(a+x)=f(a-x)，則y=f(x)的圖象關于x=a對稱。

　　這是因為a+x和a-x這兩點分別列于a的左右兩邊并關于a對稱，且其函數值相等，說明這兩點關于直線x=a對稱，由x的任意性可得結論。

　　例如對于f(x)若t∈R均有f(2+t)=f(2-t)則f(x)圖象關于x=2對稱。若將條件改為f(1+t)=f(3-t)或f(t)=f(4-t)結論又如何呢？第一式中令t=1+m則得f(2+m)=f(2-m)；第二式中令t=2+m，也得f(2+m)=f(2-m)，所以仍有同樣結論即關于x=2對稱，由此我們得出以下的更一般的結論：

　　2、函數f(x)定義域為R，a、b為常數，若對任意x∈R均有f(a+x)=f(b-x)，則其圖象關于直線x= 對稱。

　　我們再來探討以下問題：若將條件改為f(2+t)=-f(2-t)結論又如何呢？試想如果2改成0的話得f(t)=-f(t)這是奇函數，圖象關于(0,0)成中心對稱，現在是f(2+t)=-f(2-t)造成了平移，由此我們猜想，圖象關于M(2，0)成中心對稱。如圖，取點A(2+t，f(2+t))其關于M(2，0)的對稱點為A′(2-x，-f(2+x))

　　∵-f(2+X)=f(2-x)｀A′的坐標為(2-x，f(2-x))顯然在圖象上

　　｀圖象關于M(2，0)成中心對稱。

　　若將條件改為f(x)=-f(4-x)結論一樣，推廣至一般可得以下重要結論：

　　3、f(X)定義域為R，a、b為常數，若對任意x∈R均有f(a+x)=-f(b-x)，則其圖象關于點M(，0)成中心對稱。

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