自主招生筆試題

時間：2020-10-18 10:40:28 筆試題目

自主招生筆試題

數學：(^表示指數位置)
　　　　1、(5^0.5+1)/(5^0.5-1)整數部分為A，小數部分為B。求：（1）A、B（2）B+B^2+B^3+……＋B^n（比較簡單）
　　　　2、求證：（1）當x+y=1，x^2n+y^2n≥0.5^(2n-1)（我的思路：x^2n+y^2n>=2(x^(2n)*y^(2n)),當且僅當x=y＝0.5時等號成立。當x=y，右式等于0.5^(2n-1),證明完畢。）
　　　　（2）a,b,c>0,任意將其排序為x,y,z。求證：a/x+b/y+c/z>=3(除了用競賽上講的排序不等式，沒想到其它做法)
　　　　3、問x^2+2px+2q=0,p、q是奇數時是否有有理數根，證明之。（我的思路：不存在。要證明不存在，只需證delta不是有理數，只需證判別式不是完全平方數。設p^2-2q=a^2,a是整數。則：p^2是奇數，2q是偶數，故a是奇數。P^2-a^2=(p+a)(p-a)＝2p的兩個因式均為偶數，推出2p被4整除，與p是奇數矛盾，得證）
　　　　4、橢圓x^2/(a^2)＋y^2/(b^2)=1,過A(-a，0)做l交橢圓與P交y軸于R，過O做l’平行于l交橢圓于Q.求證：AP、根二倍OQ、AR成等比數列
　　　　5、寫出所有公差是8的三項等差質數列。（我的思路：『3，11，19』證明：公差為8的.質數列，故不含偶數。滿足質數列，故不被3整除，首項可寫作3n＋1或3n+2。當為3n+1，第二項是3n+9，和數，排除；當為3n+2，第三項為3n+18，和數，排除。故3，11，19是唯一滿足條件的數列）
　　　　6、sin t＋cos t＝1，z=cos t+i sin t(i是虛數單位)，求z^0+z^1+z^2+z^3+……+z^n(我的思路：貌似是應用復數的三角形式，好像要討論)
　　　　7、求證：a1,a2,a3,a4……a2n+1各項相等的充要條件是數列『an』滿足條件：從中任取2n項，均可分成各含n項的兩組使兩組各項之和相等（不會，不過不知道假設其不相等，按從大到小的順序排列之后有沒有辦法做）
　　　　8、四面體ABCD中，AB=CD,AC=BD,AD=BC，求證：（1）其四個面都是銳角三角形（2）若同一面上三個二面角是a,b,c，cosa+cosb+cosc=1
　　　　9、三位數中任取一數，求：它是5的倍數的概率；它恰有兩位數字相等的概率

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